余角和补角 练习题（42 道真题，附答案解析）

解析：【解答】 解： ∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠COD＝∠COE+∠BOE＝90°，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠COE+∠COD＝∠AOD+∠BOE＝90°，
∴图中互为余角的角有∠AOD 和∠COD， ∠BOE 和∠COE， ∠COE 和∠COD， ∠BOE 和∠AOD，共 4 对，
故选： B．

解析：【解答】 解： 由题意可知： ∠APB = ∠A'PB' = 36°，∠APA' = ∠A'PB' + ∠APB'，∠BPB' = ∠APB + ∠APB'，
∴∠APA' = ∠BPB'，故①正确；
若射线 PA'经过刻度 27，则∠A'PO = 27°，则∠B'PA = 117° - 27° - 36° = 54°，∠A'PB = 36° + 54° + 36 = 126°，∠B'PA + ∠A'PB = 180°，∠B'PA 与∠A'PB 互补，故②正确；
若∠APB' = \frac{1}{2}∠APA'，则∠APA' = ∠A'PB' + ∠APB' = 72°，则∠OPA' = 117° - APA' = 45°，
∴射线 PA'经过刻度 45°，故③正确．
故选： D．

解析：【解答】解： $\frac{1}{4}$的平方根为 $\pm\sqrt{\frac{1}{4}}=\pm\frac{1}{2}$，故选： C.

解析：【解答】解： ∵一个角的余角是 28°，
∴这个角的度数＝90° － 28°＝62°，
故选： D.

解析：【解答】 解： ∵$OA\perp OC$，$OB\perp OD$，
∴$\angle AOC=\angle BOD=90^\circ$．
∴$\angle AOC - \angle BOC=\angle BOD - \angle BOC$．
∴$\angle AOB=\angle COD$．
∴甲同学说的正确；
∵$\angle BOC+\angle AOD$
$=\angle AOC+\angle COD+\angle BOC$
$=\angle AOC+\angle BOD$
$=90^\circ +90^\circ$
$=180^\circ$，
∴乙同学说的正确；
∵$\angle AOB+\angle BOC=\angle AOB=90^\circ$， $\angle BOC$和$\angle COD$不一定相等，
∴丙同学说的错误；
∵图中小于平角的角有$\angle AOB$、$\angle AOC$、$\angle AOD$、$\angle BOC$、$\angle BOD$、$\angle COD$，共6个，
∴丁同学说的正确．
故选： D.

解析：【解答】 解： 根据互补的性质得，
70°角的补角为： 180° - 70°=110°，是个钝角；
∵答案 A、B、C 都是锐角，答案 D 是钝角；
∴答案 D 正确。
故选： D。

解析：【解答】 解： ∵∠AOC=∠BOC=90°，∠AOD=∠COE，
∴∠AOD+∠COD=∠COE+∠BOE=90°，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠COE+∠COD=∠AOD+∠BOE=90°，
∴图中互为余角的角有∠AOD和∠COD，∠BOE和∠COE，∠COE和∠COD，∠BOE和∠AOD，共 4 对，
故选： B.

解析：【解答】 解： 根据互补的性质得，
70° 角的补角为： 180° - 70° = 110° ，是个钝角；
∵答案A、B、C 都是锐角， 答案D 是钝角；
∴答案 D 正确.
故选： D.

解析：【解答】 解： 图①，∠α+∠β=180° - 90° ，互余；
图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；
图③，∠α+∠β=180° ，互补.
图④，根据等角的补角相等∠α=∠β；
故选： B.

解析：解： A、由图形得： $\alpha + \beta = 90^\circ$ ，不合题意；
B、由图形得： $\beta + \gamma = 90^\circ$ ，$\alpha + \gamma = 60^\circ$ ，
可得 $\beta - \alpha = 30^\circ$ ，不合题意；
C、由图形可得： $\alpha = \beta = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ ，符合题意；
D、由图形得： $\alpha + 45^\circ = 90^\circ$ ，$\beta + 30^\circ = 90^\circ$ ，可得 $\alpha = 45^\circ$ ，$\beta = 60^\circ$ ，不合题意。
故选： C.

解析：解： 由题意可知：∠APB=∠A′ PB′ =36° ，∠APA′ =∠A′PB′+∠APB′ ，∠BPB′ =∠APB+∠APB′ ，
∴∠APA′ = ∠BPB′ ，故①正确；
若射线 PA′ 经过刻度 27，则∠A′ PO=27° ， 则∠B′ PA=117° - 27° - 36° =54° ， ∠A′ PB=36° +54° +36=126° ， ∠B′ PA+∠A′ PB=180° ， ∠B′ PA 与∠A′ PB 互补，故②正确；
若∠APB′ =$\frac{1}{2}$∠APA′ ， 则∠APA′ =∠A′ PB′ +∠APB′ =72° ， 则∠OPA′ =117° - APA′ =45° ，
∴射线PA′ 经过刻度 45° ，故③正确．
故选： D．

解析：【解答】 解： 根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠2＝∠FEC，
∵∠1＋∠AEB＋∠2＋∠FEC＝180° ，
∴2（∠1＋∠2）＝180° ， 即∠1＋∠2＝90° ，
即∠1 与 ∠2 互余。
故选： B.

解析：【解答】 解： 由两块直角三角板的直顶角 O 重合在一起可知：∠DOC=∠BOA=90° ，
∴∠DOB+∠BOC=90° ，∠AOC+∠BOC=90° ，
∴∠DOB=∠AOC，
设∠BOC=x° ， 则∠AOD=7x° ，
∴∠DOB+∠AOC=∠AOD - ∠BOC=6x° ，
∴∠DOB=3x° ，
∴∠DOB+∠BOC=4x° =90° ，
解得： x=22.5.
故选： A.

解析：【解答】 解： ∵一个角的余角是 28° ，
∴这个角的度数=90° - 28° =62° ，
故选： D.

解析：【解答】 解： ∠α的补角＝180° - α，
∠α的余角＝90° - α，
则有： 180° - α＝3（90° - α），
解得： α＝45°．

解析：【解答】解：设这个角为 x，则它的补角为（180° － x），余角为（90° － x），由题意得：
180° － x＝4（90° － x）－15，
解得 x＝55°．
即这个角为 55°．
故答案为：55．

解析：解： $\because \angle A$ 与 $\angle B$ 互余， $\angle A = 20^\circ 15'$，
$\therefore \angle B = 90^\circ - 20^\circ 15' = 69^\circ 45' = 69.75^\circ$．
故答案为： 69.75°．

解析：【解答】 根据线段的性质：两点之间线段最短可得，从学校 A 到书店 B 最近的路线是①号路线，
其道理用几何知识解释应是两点之间线段最短，
故答案为：①，两点之间线段最短．

解析：【解答】 ∵∠α和∠β互补，
∴∠β=180°－∠α，
∠α的余角是 90°－α，
∠β－90°=180°－∠α－90°=90°－∠α，
$\frac{1}{2}(∠β＋∠α)\frac{1}{2}×(180°－∠α＋∠α)=90°$
$\frac{1}{2}(∠β－∠α)\frac{1}{2}×(180°－∠α－∠α)=90°－∠α$，
正确的是①②④，
故答案为①②④．

解析：【解答】解：根据定义 ∠a 的余角度数是 90° - 63°47′=26°13′.
故答案为：26°13′。

解析：【解答】解：设 ∠A 的余角是 ∠B，则 ∠A+∠B=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90° - 40°=50°.
故答案为：50°。

解析：【解答】解：90°－30°＝60°，故答案为：60°。

解析：【解答】解：∵∠A 与 ∠B 互余，∠A＝20°15′，
∴∠B＝90°－20°15′＝69°45′＝69.75°．
故答案为：69.75°．

解析：【解答】 解： ∠α 的补角=180° - α，
∠α 的余角=90° - α，
则有： 180° - α=3（90° - α），
解得： α=45°．
故答案为： 45°．

解析：【解答】 解： ∠A 的补角的度数= 180° - 37° 50'=142° 10'，
故答案为： 142° 10' .

解析：【解答】 解： ∵∠α=38° 42' ，
∴∠α 的余角是 90° - 38° 42' =51° 18' .
故答案为： 51° 18' .

解析：【解答】 解： 过点 E 作 EM//AB，过点 F作 FN//AB，
∵AB// CD，
∴EM// AB// CD// FN，
∴∠ABE+∠BEM=180° ， ∠CDE+∠DEM=180° ，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360° ，
∵∠BED=110° ，
∴∠ABE+∠CDE=250° ，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF=(1/2)∠ABE，∠CDF=(1/2)∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF=(1/2)（∠ABE+∠CDE）=125° ，
∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF，
∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125° ．
故答案为 125°

解析：【解答】 解： 90° - 22° 30′ =67° 30′ 。故答案为： 67° 30′

解析：【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠COE；
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠AOE+∠COE=180°，
∴与∠AOE互补的角是∠BOE、∠COE；
故答案为∠BOE、∠COE；
（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD=∠AOD=36°，∠COE=∠BOE=1/2∠BOC，
∴∠AOC=2×36°=72°，
∴∠BOC=180°-72°=108°，
∴∠COE=1/2∠BOC=54°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；
（3）当∠AOD=x°时，∠DOE=90°．

解析：【解答】解：（1）∵OB是∠DOA的平分线，∠AOB=20°，
∴∠AOD=2∠AOB=40°.
∵∠EOD=70°，
∴∠AOE=∠AOD+∠EOD=110°.
∵OC是∠EOA的角平分线，
∴∠AOC=∠AOE=55°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=35°；

（2）∵OB平分∠AOD，
∴∠AOB=∠BOD=\frac{1}{2}∠AOD=α，
∴∠AOD=2α，
∴∠AOE=∠AOD+∠EOD=70°+2α，
∵OC为∠AOE的平分线，
∴∠AOC=\frac{1}{2}∠AOE=35°+α，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=35°；

（3）当∠BOC第一次为90°，此时要OC追上OB，
可得：90°+35°=125°，
根据题意得：\frac{125}{5.5}=\frac{250}{11}（分钟），
则经过\frac{250}{11}分钟∠BOC第一次为90°.

故答案为：（1）35°；（2）35°；（3）\frac{250}{11}.

解析：25．【解答】 解：（1）①如图，直线 AD 即为所求作.
②∠AOE 即为所求作.
（2）结论： ∠AOC+∠BOE=180°.
理由： ∵∠AOC=90° - ∠BOC，∠BOE=90°+∠AOE，∠BOC=∠AOE，
∴∠AOC+∠BOE=90° - ∠AOE+90°+∠AOE=180°.

解析：27．【解答】解：∵∠AOB+∠AOC=90°，∠AOD+∠AOC=180°，
∴∠AOB=90°-∠AOC，∠AOD=180°-∠AOC，
∵∠BOD=∠AOD-∠AOB=(180°-∠AOC)-(90°-∠AOC)=90°，
∵∠BOC=½∠BOD，
∴∠BOC=½×90°=45°，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=(90°-∠AOC)+45°，
∴∠AOC=67.5°。

解析：【解答】解：（1）如图1，图2所示；

（2）∵∠AOB=40°，∠AOB的余角为∠AOC，∠AOB的补角为∠BOD，
∴∠AOC=90°－∠AOB=50°，∠BOD=180°－∠AOB=140°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOA=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×50°=25°，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×140°=70°，

①如图1，∠MON=∠MOA+∠AOB+∠BON=25°+40°+70°=135°，
②如图2，∠MON=∠NOB－∠MOA－∠AOB=70°－25°－40°=5°，
∴∠MON=135°或5°；

（3）∠MON=α+45°或135°－2α．

解析：【解答】解：（1）∠AOC=∠BOD，
理由如下：因为∠AOC与∠BOD是对顶角，
根据对顶角相等，
所以∠AOC=∠BOD；
（2）∵∠COE是直角，
∴∠COE=90°，
∴∠EOF=∠COE-∠COF=90°-34°26′=55°34′，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠COE=55°34′，
∴∠AOC=∠AOF-∠COF=55°34′-34°26′=21°08′，
∴∠BOD=∠AOC=21°08′.

解析：【解答】解：（1）∵OE平分∠BOC，∠BOC=130°，
∴∠BOE=1/2∠BOC=65°，
∵DO⊥OE，
∴∠DOE=90°，
∴∠BOD=90°+65°=155°；
（2）∵∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-65°=25°，
∠AOD=180°-∠DOB=25°，
∴∠AOD=∠DOC，
即OD平分∠AOC.

解析：【解答】解：（1）∵∠AOE+∠BOE=∠AOB=180°，∠COE+∠DOE=∠COD=180°，∠COE=∠BOE
∴∠BOE的补角是∠AOE，∠DOE
故答案为：∠AOE或∠DOE；
（2）∵OE⊥OF，∠COF=2∠COE，
∴∠COF=⅔×90°=60°，∠COE=⅓×90°=30°，
∵OE是∠COB的平分线，
∴∠BOE=∠COE=30°；
（3）OF平分∠AOC，
∵OE是∠COB的平分线，OE⊥OF.
∴∠BOE=∠COE，∠COE+∠COF=90°，
∵∠BOE+∠EOC+∠COF+∠FOA=180°，
∴∠COE+∠FOA=90°，
∴∠FOA=∠COF，
即，OF平分∠AOC.

解析：【解答】解：（1）∵AB是直线（已知），∴∠BOD+∠AOD=180°，∵∠BOD的度数是∠AOD的5倍，∴∠AOD=1/6×180°=30°，∠BOD=5/6×180°=150°.
（2）∵∠BOC=∠AOD=30°，OE⊥DC，∴∠EOC=90°，∴∠BOE=∠EOC - ∠BOC=90° - 30°=60°.

解析：【解答】解：（1）如图2，∠BOM=90°，
OM平分∠CON．理由如下：
∵∠BOC=135°，
∴∠MOC=135° - 90°=45°，
而∠MON=45°，
∴∠MOC=∠MON；
故答案为90°；
（2）∠AOM=∠CON．
理由如下：如图3，
∵∠MON=45°，
∴∠AOM=45° - ∠AON，
∵∠AOC=45°，
∴∠NOC=45° - ∠AON，
∴∠AOM=∠CON；
（3）在旋转的过程中，∠COM与∠CON互补，则ON旋转67.5°或247.5°，
∴67.5°/4.5=15，或247.5°/4.5=55，
故答案为：15或55.

解析：【解答】解：（1）证明：∵点 O 在直线 AD 上，
∴∠AOB+∠BOD=180°．
即∠AOB+∠BOC+∠COD=180°．
∴∠AOC+∠COD=180°．
∵OC 平分∠BOD，
∴∠BOC=∠COD．
∴∠AOC+∠BOC=180°
∴∠AOC 与∠BOC 互补．
（2）如图所示即为所求作的图形．
（3）∵∠EPQ 和∠FPQ 互余，
射线PM 平分∠EPQ，
射线PN 平分∠FPQ．
∴锐角∠MPN 的度数是45°